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【f(x)=x^2+bln(x+1)f(x)=x^2+bln(x+1)第一问会了第二问(2)若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+.+1/n^3个人认为用数学归纳法可是没试出来是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)】
1人问答
更新时间:2024-03-28 19:17:27
问题描述:

f(x)=x^2+bln(x+1)

f(x)=x^2+bln(x+1)

第一问会了第二问(2)若b=1时,证明对任意的正整数n,不等式∑f(1/k),1+1/2^3+1/3^3+.+1/n^3

个人认为用数学归纳法可是没试出来

是f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+......+f(1/n)

常柏回答:
  如果是b=1该题应当是,   f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+.+f(1/n)>1+1/2^3+1/3^3+.+1/n^3才对.   因为,左边   f(1/1)+f(1/2)+f(1/3)+.+f(1/n)   =∑[(1/k)^2+ln((1/k)+1)]   =∑(1/k)^2+∑ln((1/k)+1)   =∑(1/k)^2+ln∏((1/k)+1)   =∑(1/n)^2+ln[((1/1)+1)((1/2)+1)……((1/n)+1)]   =∑(1/n)^2+ln[(2/1)(3/2)……((1+n)/n)]   =∑1/n^2+ln(1+n)   右边   1+1/2^3+1/3^3+.+1/n^3   =∑1/n^3   明显,对任何n>1均有,1/n^2>1/n^3   所以,当且仅当n=1时,   ∑1/n^3=∑1/n^2而这时,ln(1+n)=ln2>0   所以,∑1/n^2+ln(1+n)>∑1/n^3对于任何正整数n均成立.   你很可能抄错的地方是,b=1,这里如果是b=-1,那么,你要求证的才成立.   这时,即相当于求   ∑1/n^2-ln(1+n)
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