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工科数学分析的一道证明题诸位指教科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录:根号2是无理数的证明本书用反证法.设存在一个有理数P/Q满足(P/Q)*(P/Q)=2,这里我们假定p与q没有公因子.
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更新时间:2024-03-29 02:51:12
问题描述:

工科数学分析的一道证明题诸位指教

科学出版社05年7月版的工数上册正文P6附录:根号2是无理数的证明

本书用反证法.

设存在一个有理数P/Q满足(P/Q)*(P/Q)=2,

这里我们假定p与q没有公因子.上式等价于

p*p=2q*q

因此p*p是一偶数;而这只有p本身是偶数时才会如此,设p=2k,代入上式,有

2k*k=q*q.

与前面一样我们得出q是偶数,这使得p与q都是偶数,与p与q没有公因子的假设相矛盾.这就证明了根号2是无理数而不是有理数.

其中“而这只有p本身是偶数时才会如此”是如何成立?难道p不能等于根号2吗?反证法不是已经假设根号2是有理数了?

马迅飞回答:
  任一有理数都可以表示为p/q,这里的p和q都是整数.
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