设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.-笔画序问答网

设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.

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更新时间：2024-04-27 18:18:02

问题描述：

设有实数域上n阶方阵A,A的顺序主子式全为正的,而且非对角元全为负的.证明：逆矩阵A^-1的每个元素全为正的.

陈武栋回答：

　　对A做LU分解,用归纳法容易证明L和U具有同样的符号结构（这种矩阵叫M-矩阵）,即L和U的对角元为正数、非对角元为负数（非零的部分）、顺序主子式大于零. 　　于是L^{-1}和U^{-1}都是非零元皆为正数的三角矩阵,A^{-1}=U^{-1}L^{-1}是正矩阵.

雷新塘回答：

网友采纳

　　谢谢嗯那可以不用归纳法直接进行证明么？

陈武栋回答：

网友采纳

　　一般来讲含有抽象的n的命题或多或少总要涉及归纳的，只不过有些场合归纳法被隐藏在某些引理的证明当中而已，所以我没有兴趣去寻找非归纳的证法

雷新塘回答：

网友采纳

　　嗯谢谢

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