在三角形abc中角acb=90cd垂直于ab于d设ac=b.bc=acd=h三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.求证：(1)1/a2+1/b2=1/h2（2）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
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更新时间：2024-04-27 18:00:41
问题描述：
在三角形abc中角acb=90cd垂直于ab于d设ac=b.bc=acd=h
三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.
求证：(1)1/a2+1/b2=1/h2（2）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
李天铎回答：
证明：（1）∵△ABC的面积＝1/2ab＝1/2ch,∴ab＝ch
∴1/a2＋1/b2
＝(a2＋b2)/a2b2
＝c2/a2b2
＝c2/c2h2
＝1/h2
（2）由（1）知ab＝ch,∴2ab＝2ch
又a2＋b2＝c2,∴a2＋b2＜c2＋h2
∴a2＋b2＋2ab＜c2＋h2＋2ch
即(a＋b)2＜(c＋h)2
∵a、b、c、h均为正数,∴a＋b＜c＋h
（3）（a+b)2+h2＝a2+b2+2ab+h2
（c+h)2＝c2+h2+2ch
∵a2+b2＝c2,ab＝ch
所以（a+b)2+h2＝(c+h)2
故以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形
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